练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    15．对于?n∈N*，若数列{xn}满足xn+1-xn＞1，则称这个数列为“K数列”．
    （Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；
    （Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足${S_n}＜\frac{1}{2}{n^2}-n（n∈{N^*}）$？若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；
    （Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列$\left\{{\frac{1}{2}{a_n}}\right\}$不是“K数列”，若${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．

    分析 （Ⅰ）由题意得（m+1）-1＞1，m2-（m+1）＞1，联立解出即可得出．
    （Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$对n∈N*均成立，化为（n-1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．
    （Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，由题意可得：{an}的每一项均为正整数，且an+1-an=anq-an=an（q-1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由an+1-an=q（an-an-1）＞an-an-1，可得在{an-an-1}中，“a2-a1”为最小项．同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．

    解答 解：（Ⅰ）由题意得（m+1）-1＞1，①m2-（m+1）＞1，②
    解①得 m＞1；
    解②得 m＜-1或m＞2．
    所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．
    （Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，
    由 a1=-1，得 ${S_n}=-n+\frac{n（n-1）}{2}d$，．
    由题意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$对n∈N*均成立，
    即（n-1）d＜n．
    ①当n=1时，d∈R；
    ②当n＞1时，$d＜\frac{n}{n-1}$，
    因为$\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}＞1$，
    所以d≤1，与d＞1矛盾，
    故这样的等差数列{an}不存在．
    （Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
    因为{an}的每一项均为正整数，且an+1-an=anq-an=an（q-1）＞1＞0，
    所以a1＞0，且q＞1．
    因为an+1-an=q（an-an-1）＞an-an-1，
    所以在{an-an-1}中，“a2-a1”为最小项．
    同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项．
    由{an}为“K数列”，只需a2-a1＞1，即 a1（q-1）＞1，
    又因为$\{\frac{1}{2}{a_n}\}$不是“K数列”，且“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”为最小项，所以$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}≤1$，即 a1（q-1）≤2，
    由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q-1）=2，
    所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．
    ①当a1=1，q=3时，${a_n}={3^{n-1}}$，则${b_n}=\frac{3^n}{n+1}$，
    令${c_n}={b_{n+1}}-{b_n}（n∈{N^*}）$，则${c_n}=\frac{{{3^{n+1}}}}{n+2}-\frac{3^n}{n+1}={3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$，
    又${3^{n+1}}•\frac{2n+3}{（n+2）（n+3）}-{3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{3^n}{n+2}•\frac{{4{n^2}+8n+6}}{（n+1）（n+3）}＞0$，
    所以{cn}为递增数列，即 cn＞cn-1＞cn-2＞…＞c1，
    所以bn+1-bn＞bn-bn-1＞bn-1-bn-2＞…＞b2-b1．
    因为${b_2}-{b_1}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}＞1$，
    所以对任意的n∈N*，都有bn+1-bn＞1，
    即数列{cn}为“K数列”．
    ②当a1=2，q=2时，${a_n}={2^n}$，则${b_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}$．因为${b_2}-{b_1}=\frac{2}{3}≤1$，
    所以数列{bn}不是“K数列”．
    综上：当${a_n}={3^{n-1}}$时，数列{bn}为“K数列”，
    当${a_n}={2^n}$时，数列{bn}不是“K数列”．

    点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    5．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AC=2，AD=2$\sqrt{2}$，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，点F、G分别在线段PD、PC上．
    （Ⅰ）证明：CD⊥AG；
    （Ⅱ）若三棱锥E-BCF的体积为$\frac{1}{6}$，求$\frac{FD}{PD}$的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，0≤x＜\frac{1}{2}\\-1，\frac{1}{2}≤x＜1\\ 0，\;x＜0或x≥1\end{array}\right.$和$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1，0≤x＜1\\ 0，x＜0或x≥1\end{array}\right.$
    则g（2x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，0≤x＜\frac{1}{2}}\\{0，x＜0或x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
    若m，n∈Z，且m•g（n•x）-g（x）=f（x），则m+n=4．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    3．已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（　　）
    A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
    C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    10．已知函数f（x）=ex-e-x，下列命题正确的有①②④．（写出所有正确命题的编号）
    ①f（x）是奇函数；
    ②f（x）在R上是单调递增函数；
    ③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；
    ④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    20．设a+b=M（a＞0，b＞0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于2$\sqrt{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为$\sqrt{3}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．已知数列{an}的前9项和为153，且点P（an，an+1）（n∈N+）在直线x-y+3=0上
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）从数列{an}中，依次去除第2项、第8项、第24项…第n•2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn
    （Ⅲ）求证：$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+$…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    10．角12°化为弧度是（　　）
    A．$\frac{π}{15}$B．$\frac{π}{12}$C．$\frac{π}{16}$D．$\frac{π}{18}$

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案