Question

如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB．其中Q是PB中点，S是AB的中点．求证：
（1）AB⊥平面MNQ
（2）MN⊥AB．

Answer 1

分析：（1）依题意，连结MQ，NQ，可证MQ⊥平面PAB，从而可得MQ⊥AB，再利用PA=PB，AN=3NB，S是AB的中点可证得QN⊥AB，利用线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）利用线面垂直的性质定理即可．

解答：证明：（1）∵PB的中点为Q，连结MQ，NQ，
∵M是PC的中点，
∴MQ∥BC，
∵CB⊥平面PAB，
∴MQ⊥平面PAB，
∴MQ⊥AB，①
又S是AB的中点，连结QS，则QS∥PA；
∵PA=PB，
∴PS⊥AB；
∴又AN=3NB，
∴BN=NS，
∴QN∥PS，
∴QN⊥AB，②
MQ∩QN=Q，③
由①②③知AB⊥平面QMN；
（2）由（1）知AB⊥平面QMN，又MN?平面QMN，
∴MN⊥AB．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查推理、证明的能力，属于中档题．