Question

△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，B=

π

3

，cosA=

3

5

，b=

3

．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由cosA的值，及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由B的度数求出sinB与cosB的值，利用诱导公式及三角形内角和定理得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入求出sinC的值即可；
（2）由sinA，sinB及b的值，利用正弦定理求出a的值，再由b，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵cosA=

3

5

，且A为三角形的内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
又B=

π

3

，∴sinB=

3

2

，cosB=

1

2

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

；
（2）∵sinA=

4

5

，sinB=

3

2

，b=

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=

bsinA

sinB

=

3 × 4 5

3 2

=

8

5

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

8

5

×

3

×

4+3 3

10

=

8+6 3

25

．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．