Question

在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin²A＝sin²B＋sin²C，试判断△ABC的形状．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：∵A、B、C是三角形的内角， 　　∴A＝π－(B＋C)． 　　∴sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC． 　　∴sinBcosC－cosBsinC＝0． 　　∴sin(B－C)＝0．∴B－C＝0．∴B＝C． 　　∴A＝π－2B． 　　∴sin2A＝sin22B＝sin2B＋sin2C＝2sin2B． 　　∵B＝C，∴B是锐角．∴sin2B＝sinB． 　　∴2sinBcosB＝sinB． 　　∴cosB＝． 　　∴B＝C＝，A＝． 　　∴△ABC是等腰直角三角形． 　　解法二：根据正弦定理得＝＝＝2R， 　　∵sin2A＝sin2B＋sin2C， 　　∴a2＝b2＋c2．∴A是直角，B＋C＝90°． 　　∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1． 　　∴sinB＝．∴B＝45°． 　　∴△ABC是等腰直角三角形． 　　解法三：根据正弦定理得＝＝＝2R． 　　∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2． 　　∴A是直角． 　　又∵A＝π－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC， 　　∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC． 　　∴sin(B－C)＝0．∴B－C＝0．∴B＝C． 　　∴△ABC是等腰直角三角形．