Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,其中a_n=且,

(1)求a₂、a₃;

(2)猜想数列{a_n}的通项公式,并用数学归纳法证明;

(3)求S_n.

Answer 1

解：(1)由a₂=,得a₂=,由a₁=,a₂=,

得a₃=,∴a₃=.

(2)猜想a_n=,下面用数学归纳法证明：

①当n=1时,猜想显然成立.

②假设n=k时,猜想成立,即a_k=,

由a_k+1=,

即S_k+1=(k+1)(2k+1)a_k+1,

同时S_k=k(2k-1)a_k=,两式相减,得a_k+1=S_k+1-S_k=(k+1)(2k+1)a_k+1-,

∴［(k+1)(2k+1)-1］·a_k+1=,

即k(2k+3)a_k+1=.

∴a_k+1=,

即当n=k+1时,猜想成立.

由①②知对一切正整数N^*猜想都成立.

(3)

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