Question

4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=-$\sqrt{3}$（ccosB+bcosC）．
（1）求角A；
（2）若b=2，且△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和两角和得正弦公式和诱导公式可得，
（2）先由三角形的面积公式求出c，再根据余弦定理即可求出．

解答 解：（1）∵2acosA=-$\sqrt{3}$（ccosB+bcosC）
由正弦定理可得2sinAcosA=-$\sqrt{3}$（sinCcosB+sinBcosC）=-$\sqrt{3}$sin（B+C）=-$\sqrt{3}$sinA，
∵sinA≠0，
∴cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{5π}{6}$
（2）b=2，且△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得c=$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=4+3-2×2×$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=13，
则a=$\sqrt{13}$

点评 本题考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式应用等知识，属于中档题．