Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=，f（1）=1，已知a_n=f²（n）-f（n），则数列{a_n}的前40项和    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题中函数关系式化简整理，得到[f²（x+1）-f（x+1）]-[f²（x）-f（x）]=-，结合题意算出a_n+1-a_n=-，从而得到{a_n}构成公差d=-的等差数列，由f（1）=1算出a₁=0，得到通项公式a_n=（1-n），最后利用等差数列的前n项和公式即可算出数列{a_n}的前40项和．
解答：解：∵f（x+1）=，
∴f（x+1）-=，
两边平方，得[f（x+1）-]²=f（x）-f²（x）
化简得[f²（x+1）-f（x+1）]-[f²（x）-f（x）]=-
∵a_n=f²（n）-f（n），可得a_n+1=f²（n+1）-f（n+1），
∴a_n+1-a_n=[f²（n+1）-f（n+1）]-[f²（n）-f（n）]=-，
可得{a_n}构成公差d=-的等差数列
∵f（1）=1，得a₁=f²（1）-f（1）=0
∴{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=（1-n）
因此，数列{a_n}的前40项和为S₄₀==20×（-）=-195
故答案为：-195
点评：本题给出函数关系式，在已知数列a_n=f²（n）-f（n）的情况下求数列的前n项和．着重考查了函数式的配方整理、数列递推关系，等差数列的通项公式与求和公式等知识，属于中档题．