Question

设函数f(x)=lnx-px+1.

(1)求函数f(x)的极值点;

(2)当p＞0时,若对任意的x＞0,恒有f(x)≤0,求p的取值范围;

(3)证明:++…+＜(n∈N,n≥2).

Answer 1

解:(1)∵f(x)=lnx-px+1,∴f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=-p=,

当p≤0时,f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上无极值点.

当p＞0时,令f′(x)=0,∴x=∈(0,+∞),f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:

X	(0,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-
f(x)	↗	极大值	↘

    从上表可以看出:当p＞0时,f(x)有唯一的极大值点x=.

(2)当p＞0时,f(x)在x=处取得极大值f()=ln,此极大值也是最大值,

要使f(x)≤0恒成立,只需ln≤0,

∴p≥1.∴p的取值范围为［1,+∞).

(3)证明:令p=1,由(2)知,lnx-x+1≤0,

∴lnx≤x-1.

∵n∈N,n≥2,∴lnn²≤n²-1.

∴≤=1.

∴++…+≤(1)+(1)+…+(1)

=(n-1)-(++…+)

＜(n-1)-［++…+

=(n-1)-(++…+)=(n-1)-()=.

∴结论成立.