Question

已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1．求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设a、b、c、d都不是负数， 　　即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0． 　　∵a＋b＝c＋d＝1， 　　∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0． 　　∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c) 　　＝2ac－(a＋c)＋1 　　＝(ac－a)＋(ac－c)＋1 　　＝a(c－1)＋c(a－1)＋1． 　　∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0， 　　∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1． 　　与ac＋bd＞1相矛盾． 　　∴假设不成立． 　　∴a、b、c、d中至少有一个是负数． 　　解析：本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，是具体有一个负数，两个负数，三个负数，还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，对于“至多”“至少”性问题可用反证法．