Question

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，SA＝AD，M为AB中点，N为SC中点．

(1)证明：MN∥平面SAD；

(2)证明：平面SMC⊥平面SCD；

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：取SD中点E，连接AE，NE， 　　N、E分别是SC、SD的中点 　　∴NE∥CD且NE＝CD 　　∵AB∥CD且AB＝CD，AM＝AB 　　∴NE∥AM且NE＝AM 　　∴四边形AMNE为平行四边形 　　∴MN∥AE 　　∵ 　　∴MN∥平面SAD； 　　(2)∵SA⊥平面ABCD 　　∴SA⊥CD 　　底面ABCD为矩形， 　　∴AD⊥CD 　　又∵SA∩AD＝A；∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD；∴CD⊥AE 　　∵SA＝AD；E为SD的中点，∴AE⊥SD，∵SD∩CD＝D 　　∴AE⊥平面SCD；∵AE∥MN；∴MN⊥平面SCD；∵MN平面MSC 　　∴平面SMC⊥平面SCD