Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=（3^x-1）（3^x-9）．若f（x）在[-2n，-2n+2]（n∈N^*）上的最小值为-1，则n=（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：根据x∈[0，2]时，f（x）=（3^x-1）（3^x-9）=3^2x-10•3^x+9=（3^x-5）²-16，研究其最小值，再考虑当x∈[-2，0]、x∈[-8，-6]时，相应函数的最小值，即可得到结论．

解答：解：①当x∈[0，2]时，f（x）=（3^x-1）（3^x-9）=3^2x-10•3^x+9=（3^x-5）²-16
∵0≤x≤2，∴1≤3^x≤9，当3^x=5，x=log₃5时，f （x）_min=-16
②当x∈[-2，0]时，有x+2∈[0，2]，f（x+2）=（3^x+2-5）²-16=2f（x）   
∴f（x）=

1

2

（3^x+2-5）²-8
∵0≤x+2≤2，1≤3^x+2≤9，当3^x+2=5，x=log₃

5

9

时，f （x）_min=-8
③当x∈[-8，-6]，有x+8∈[0，2]，f（x+8）=（3^x+8-5）²-16 
∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
f（x+4）=f（（x+2）+2）=2f（x+2）=4f（x），
f（x+8）=f（（x+4）+4）=4f（x+4）=16f（x））
∴（3^x+8-5）²-16=16f（x） 
∴f（x）=

1

16

（3^x+8-5）²-1
∵0≤x+8≤2，1≤3^x+8≤9，∴当3^x+8=5，x=log₃5-8时，f （x）_min=-1
于是-2n=-8，∴n=4
故选B．

点评：本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．