Question

已知数列{a_n}满足条件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判断数列{a_n+1}是否为等比数列；
（Ⅱ）若t=1，令cn=

2 n

an•an+1

，记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
证明：
（i）cn=

1

an

-

1

an+1

；
（ii）T_n＜1．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），a₁+1=t+1，结合等比数列的定义，考虑t的取值，即可判断
（II）当t=1时，由（I）知an+1=2•2n-1，则可求an=2n-1，代入求出c_n，然后利用裂项即可求和，可证

解答：解（I）由题意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）
∵a₁+1=t+1
∴当t=-1时，数列{a_n+1}不是等比数列
当t≠-1时，数列{a_n+1}是以t+1为首项，以2为公比的等比数列；
（II）当t=1时，由（I）知an+1=2•2n-1
∴an=2n-1
∴Cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+′1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=

1

an

-

1

an+1

∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

7

+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

＜1

点评：本题主要考查了 等比数列的 定义及等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用．