Question

已知A_n(a_n，b_n)(n∈N^*)是曲线y＝e^x上的点，a₁＝a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足，a_n≠0，n＝2，3，4，…．

(I)证明：数列(n≤2)是常数数列；

(II)确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是单调递增数列；

(III)证明：当a∈M时，弦A_nA_n+1(n∈N^*)的斜率随n单调递增．

Answer 1

答案：
解析：

解：(I)当时，由已知得． 　　因为，所以．……① 　　于是．……② 　　由②－①得．……③ 　　于是．……④ 　　由④－③得，……⑤ 　　所以，即数列是常数数列． 　　(II)由①有，所以．由③有，，　　所以，． 　　而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列， 　　所以，，， 　　数列是单调递增数列且对任意的成立． 　　且 　　． 　　即所求的取值集合是． 　　(III)解法一：弦的斜率为 　　任取，设函数，则 　　记，则， 　　当时，，在上为增函数， 　　当时，，在上为减函数， 　　所以时，，从而，所以在和上都是增函数． 　　由(II)知，时，数列单调递增， 　　取，因为，所以． 　　取，因为，所以． 　　所以，即弦的斜率随单调递增． 　　解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数， 　　所以， 　　． 　　故，即弦的斜率随单调递增．