有三个新兴城镇.分别位于A.B.C三点处.且AB=AC=13.BC=10.今计划合建一个中心医院.为同时方便三镇.准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小.点P应位于何处?(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小.点P应位于何处? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=13，BC=10.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）.

(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？

(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

解：(1)设P的坐标为（0，y)，则P至三镇距离的平方和为f(y)=2(25+y²)+(12-y)²=3(y-4)²+146,∴当y=4时，f(y)_min=146.

即点P应位于（0，4）.

(2)P至三镇的最远距离为g(y)=

由≥|12-y|得y≥,于是g(y)=

因为在［,+∞)上是增函数，而|12-y|在（-∞,）上是减函数，故当y=时，函数g(y)有最小值，此时点P应位于（0，）.

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