Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=DE=2AB=4，F为CD的中点，
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）若∠CAD=90°，求三棱锥F-BCE的体积。

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，取DE的中点M，连接AM，FM， ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE， 又∵AB=FM=， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴AM∥BE， 又∵AM平面BCE，BE平面BCE， ∴AM∥平面BCE， ∵CF=FD，DM=ME， ∴MF∥CE， 又∵MF平面BCE，CE平面BCE， ∴MF∥平面BCE， 又∵AM∩MF=M， ∴平面AHF∥平面BCE， ∵AF平面AMF， ∴AF∥平面BCE。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），知AF∥平面BCE， ∴VF-BCE=VA-BCE=VC-ABE， ∵AB⊥平面ACD， ∴平面ABED⊥平面ACD， ∵∠CAD=90°，即AC⊥AD， ∴AC⊥平面ABED， 所以，AC是三棱锥C-ABE的高， ∵AB=2，AD=4， ∴， ∴。