Question

已知函数f（x）=ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）求函数y=xg（x）﹣2x的单调增区间．
（2）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a＞0，使得方程=f′（x）﹣（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y′=lnx﹣1 令y′＞0，则x＞e
∴函数y=xg（x）﹣2x的单调增区间为（e，+∞）
（2）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函数，
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=﹣ 
由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴﹣ ≤1，解得a≤﹣2或a＞0，
∴a＞0
当a＜0时，不符合题意，
综上，a的取值范围为a≥0
（3）方程 =f′（x）﹣（2a+1）
可化简为 =ax+2﹣（2a+1）即为方程ax²+（1﹣2a）x﹣lnx=0．
设H（x）=ax²+（1﹣2a）x﹣lnx，（x＞0）
原方程在区间（ ，e）内有且只有两个不相等的实数根，
即函数H（x）在区间（ ，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣  = = 
令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=﹣ （舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，，H（x）是增函数．，
H（x）在（ ，e）内有且只有两个不相等的零点，
只需  即1＜a＜