Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n．
（1）写出数列的前5项；
（2）猜想数列的通项公式．

Answer 1

分析：（1）数列{a_n}中，由a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，分别令n=1，2，3，4，能够依次求出a₂，a₃，a₄，a₅．
（2）由数列的前5项，猜想an=

1

n

．再用数学归纳法证明．

解答：解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，
∴a₂=

1

2

×1=

1

2

，
a₃=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
a₄=

3

4

×

1

3

=

1

4

，
a₅=

4

5

×

1

4

=

1

5

．
（2）由数列的前5项，猜想an=

1

n

．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=

1

1

=1，成立；
②假设n=k时，等式成立，即ak=

1

k

，
当n=k+1时，a_k+1=

k

k+1

×

1

k

=

1

k+1

，也成立．
故an=

1

n

．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要仔细观察，合理猜想，注意数学归纳法的合理运用．