Question

18．已知抛物线C：y²=ax（a＞0）的焦点为F，过焦点F和点P（0，1）的射线FP与抛物线相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：3，则a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的抛物线的焦点坐标，由丨MF丨=丨MK丨，则丨KN丨：丨KM丨=2$\sqrt{2}$：1，根据直线的斜率公式，即可求得a的值．

解答 解：由抛物线抛物线C：y²=ax，焦点F（$\frac{a}{4}$，0），设M在准线上的射影为K，
由抛物线的定义丨MF丨=丨MK丨，
由|FM|：|MN|=1：3，则|KM|：|MN|=1：3，
∴丨KN丨：丨KM丨=2$\sqrt{2}$：1，
则k_FN=$\frac{0-1}{\frac{a}{4}-0}$=$\frac{-4}{a}$，k_FN=-$\frac{丨KN丨}{丨KM丨}$=-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{-4}{a}$=-2$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$，
∴a的值$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的定义，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．