Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点。

（1）求直线A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面AB₁D₁∥平面EFG。

Answer 1

（1）解：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，
∴∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角，
又正方体的棱长为a，
∴AC=，A₁C=，
∴。
（2）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接BD，DD₁∥B₁B，DD₁=B₁B，
∴DD₁B₁B为平行四边形，
∴D₁B₁∥DB，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，
∴EF∥D₁B₁， 
∵EF平面GEF，D₁B₁平面GEF，
∴D₁B₁∥平面GEF，
同理AB₁∥平面GEF，
∵D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴平面AB₁D₁∥平面EFG。