Question

（本题满分14分）

已知函数 (R)．

(1) 当时，求函数的极值；

（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）当时，， 

 ∴  

       令=0, 得        …… 2分 

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增     …… 4分   

∴ 当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为  ……………6分

 

（2） ∵ = ，    ∴△= =   

① 若a≥1，则△≤0              …… 7分

∴≥0在R上恒成立，         ∴ f（x）在R上单调递增                                                 

∵f（0），

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．    …… 9分 

② 若a＜1，则△＞0，  ∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁<x₂）

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a

当变化时，的取值情况如下表：

∵          ∴             …… 11分

∴

       

同理

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞ 

          而当时,

          故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点. …… 13分                            

综上所述，a的取值范围是      …………………………………… 14分

 

【解析】略