Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1）=0，当x＞0时有

x f′(x)-f(x)

x2

＞0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

A．（-1，0）

B．（-1，0）∪（1，+∞）

C．（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：构造g（x）=

f(x)

x

，可得g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，①当x＞0时有

x f′(x)-f(x)

x2

＞0，可得函数g（x）在x＞0时单调性，可得

f(x)

x

＞0=

f(1)

1

的解集，利用

f(x)

x

＞0?xf（x）＞0，即可得出不等式xf（x）＞0的解集；
②由于f（x）是偶函数，当x＜0时，xf（x）＞0?-xf（-x）＜0，解得即可．

解答：解：令g（x）=

f(x)

x

，则g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，①当x＞0时有

x f′(x)-f(x)

x2

＞0，∴函数g（x）在x＞0时单调递增，∵f（1）=0，∴

f(x)

x

＞0=

f(1)

1

的解集为{x|x＞1}，又

f(x)

x

＞0?xf（x）＞0，∴不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＞1}；
②由于f（x）是偶函数，∴当x＜0时，xf（x）＞0?-xf（-x）＜0，解得0＜-x＜1，即-1＜x＜0．
综上可知：不等式xf（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．
故选B．

点评：通过构造函数g（x）=

f(x)

x

，利用导数研究其单调性及利用偶函数的性质是解题的关键．