Question

已知函数f(x)＝ax－lnx．(a为常数)

(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；

(2)求函数f(x)在[1，＋∞)上的最值；

(3)试证明对任意的n∈N⁺都有．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当时，函数＝， 　　∵，令得　　2分 　　∵当时，　∴函数在上为减函数 　　∵当时　∴函数在上为增函数 　　∴当时，函数有最小值，　　4分 　　(2)∵ 　　若，则对任意的都有，∴函数在上为减函数 　　∴函数在上有最大值，没有最小值，　　6分 　　若，令得 　　当时，，当时，函数在上为减函数 　　当时　∴函数在上为增函数 　　∴当时，函数有最小值，　　8分 　　当时，在恒有 　　∴函数在上为增函数， 　　函数在有最小值，　　9分 　　综上得：当时，函数在上有最大值，，没有最小值； 　　当时，函数有最小值，，没有最大值； 　　当时，函数在有最小值，，没有最大值　　10分 　　(3)由(1)知函数＝在上有最小值1 　　即对任意的都有，即　　12分 　　当且仅当时“＝”成立 　　∵　∴且 　　∴ 　　∴对任意的都有　　14分