Question

已知A∈[0，2π]，且满足
（1）求角A的取值集合M；
（2）若函数f（x）=cos2x+4ksinx（k＞0，x∈M）的最大值是，求实数k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由两角和与差的正弦公式，可得，再利用辅助角公式化简得，结合三角函数的图象与性质加以计算，即可得到角A的取值集合M；
（2）利用二倍角的余弦公式，化简得f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，再令sinx=t（0）得到关于t的二次函数y=-2t²+4kt+1，结合二次函数的图象与性质，即可算出满足条件的实数．
解答：解（1）∵
∴…（1分）
可得，…（2分）    
即，…（3分）
因此，…（4分）
即，
结合A∈[0，2π]，得到角A的取值集合…（6分）
（2）∵cos2x=1-2sin²x
∴f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，
设
∴f（x）=-2t²+4kt+1，，
二次函数图象的对称轴t=k＞0…（8分）
①当时，t=k时函数有最大值，f（k）=-2t²+4kt+1=，解之得；…（10分）
②当时，时函数有最大值，解之得，不符合题意，舍去  …（12分）
综上所述，满足条件的实数．…（13分）
点评：本题解一个关于角A的三角不等式，并依此解集作为函数的定义域来求函数的最大值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和二次函数的性质等知识，属于中档题．