Question

求过点A(3，－1)且被A平分的双曲线x²－4y²＝4的弦MN所在直线的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设过A(3，－1)的直线方程为y＝k(x－3)－1， 　　代入双曲线方程得x2－4[k(x－3)－1]2＝4， 　　整理得 　　(4k2－1)x2－8k(3k＋1)x＋36k2＋24k＋8＝0． 　　若直线交双曲线于M(x1，y1)，N(x2，y2)， 　　则Δ≥0　　① 　　由韦达定理，得x1＋x2＝． 　　∵A平分MN，∴＝3， 　　解得k＝． 　　代入①验证，满足Δ≥0， 　　所以M，N存在． 　　故该直线为y＝(x－3)－1， 　　即3x＋4y－5＝0． 　　解法二：设弦MN两端点坐标为(x1，y1)(x2，y2) 　　则 　　由①－②化简得， 　　由③④可知＝． 　　故MN：3x＋4y－5＝0． 　　与双曲线方程x2－4y2＝4联立，消y得5x2－30x＋41＝0． 　　∵Δ＝302－820＞0，∴M，N两点存在， 　　∴所求弦所在的直线方程为3x＋4y－5＝0． 　　解法三：设定MN的一个端点坐标为(x，y)， 　　则弦的另一个端点的坐标为(6－x，－2－y)． 　　若MN存在，则该两点在双曲线上， 　　x2－4y2＝4　　① 　　∵Δ＞0， 　　∴该直线与双曲线相交于两点， 　　∴所求的直线即为3x＋4y－5＝0． 　　且(6－x)2－4(－2－y)2＝4　　② 　　①－②整理，得3x＋4y－5＝0．