Question

一个圆锥底面半径为R，高为，求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．

Answer 1

解：设正四棱柱的底面对角线的一半为x，
根据△PCB～△POA，
∴，
∴PC=x，
∴CO=，
由正四棱柱的底面是一个正方形可知底面的边长是x，
∴四棱柱的表面积S=4
=（4-4）x²+4，
根据二次函数的性质知
当内接正四棱柱的底面对角线一半的长是x=时
表面积S有最大值为
分析：设出正四棱柱的底面对角线的一半为x，根据轴截面上的两个三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根据四棱柱的表面积公式做出表面积的表达式，根据二次函数的性质，得到结果．
点评：本题考查四棱柱的表面积，考查三角形相似，考查列出函数式，考查二次函数的最值问题，本题考查的知识点比较多，是一个综合题目．