Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n为正整数）．
（1）证明：an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1，并求数列{a_n}的通顶公式；
（2）若

cn

n+1

=

an

n

，Tn=c1+c2+…+cn，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n为正整数）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能够an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1，并求数列{a_n}的通顶公式．
（2）由（1）可求出c_n=（n+1）（

1

2

）ⁿ，再结合其表达式的特征知可用错位相减法求T_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n为正整数），
∴当n=1时，S₁=a₁=-a₁-1+2，∴a₁=

1

2

．
当n≥2时，S_n-1=-a_n-1-（

1

2

）^n-2+2，
∴S_n-S_n-1=a_n=-a_n+a_n-1-（

1

2

）^n-1+（

1

2

）^n-2，
∴2a_n=a_n-1+（

1

2

）^n-1，
∴2a_n+1=a_n+（

1

2

）ⁿ，
∴an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1．
设b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1，即当n≥2时b_n-b_n-1=1
又∵b₁=2a₁=1
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）×1=n=2na_n，
∴a_n=

n

2n

．
（2）∵

cn

n+1

=

an

n

，
∴cn=

n+1

n•an

=（n+1）（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2×

1

2

+3×（

1

2

）²+4×（

1

2

）³+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ，①

1

2

T_n=2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+4×（

1

2

）⁴+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
由①-②得

1

2

T_n=1+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

n+3

2n

，
∴T_n=3-

n+3

2n

．

点评：本题主要考查了数列通项公式的求解和数列的求和，属常考题，较难．解题的关键是公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，以及错位相减法求和的应用!