Question

已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-na_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求使成立的正整数n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0，则可求出等比数列的公比，再利用a₃+2是a₂，a₄的等差中项，列式求出首项，则等比数列的通项公式可求；
（2）由（1）可求出b_n，再由数列求和的错位相减法即可求出S_n，进而可得使成立的正整数n的最小值．
解答：解：（1）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，则2a₁+8a₁=8a₁+4，即a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴-n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，n＞5
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．
点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是中档题．