Question

已知数列{a_n}满足：{

an

n

}是公差为1的等差数列，且an+1=

n+2

n

an+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求证：

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2．

Answer 1

分析：（1）由于 {

an

n

}是公差为1的等差数列，可得

an+1

n+1

-

an

n

=1，又a_n+1=

n+2

n

an+1，化简可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由a_n=n²，知

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2等价于

1

2

+

1

3 2

+…+

1

(n+1) n

＜2，用数学归纳法证明．

解答：解：（1）∵{

an

n

}是公差为1的等差数列，
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，
∵a_n+1=

n+2

n

an+1，
∴a_n=n²；
（2）∵a_n=n²，
∴

1

nan+1

=

1

(n+1) n

，
用数学归纳法证明

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2．
①n=1时，

1

a2

=

1

2

＜2，成立；
②假设n=k时，成立，即

1

2

+

1

3 2

+…+

1

(k+1) k

＜2，
当n=k+1时，

1

2

+

1

3 2

+…+

1

(k+1) k

+

1

(k+2) k+1

＜2也成立．
由①②知，

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2．

点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意数学归纳法的合理运用．