Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=2,b₁=1,

且 (n≥2).

(1)令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；

（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式S_n.

Answer 1

（1）c_n=3+（n-1）×2=2n+1（2）

解析:

（1）当n≥2时，c_n=a_n+b_n=+=a_n-1+b_n-1+2,

∴c_n=c_n-1+2，即c_n-c_n-1=2 (n≥2)

∴数列{c_n}为等差数列，首项c₁=a₁+b₁=3,公差d=2.

∴c_n=3+（n-1）×2=2n+1.

（2）当n≥2时，

                            

①-②得：a_n-b_n=(a_n-1-b_n-1) （n≥2）,

∴数列{a_n-b_n}为等比数列，首项为a₁-b₁=1，公比q=，

∴a_n-b_n=()^n-1.                                      ③

由（1）知：a_n+b_n=2n+1,                               ④

③+④得2a_n=(2n+1)+ ()^n-1

∴a_n=+

∴S_n=++…++

=

=.