Question

19．如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的

   点，线段MN经过△ABC的中心G.设∠MGA=α(≤α≤)．

   (1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S₁与S₂)表示为α的函数；

   (2)求y=的最大值与最小值．

Answer 1

解：

（1）因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，

所以    AG=，∠MAG=.

由正弦定理，

得GM=，

则S₁=GM·GA·sinα=（或=）.

又，得GN=，

则S₂=GN·GA·sin（π-α）=（或=）.

（2）y=［sin²（α+）+ sin²（α-）］=72（3+cot²α）.

因为≤α≤，所以当α=或α=时，y的最大值y_max=240;

当α=时，y的最小值y_min=216.