Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线y=

b

a

x的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围（　　）

• A．（1，2）
• B．（1，

  2

  ）
• C．（

  2

  ，+∞）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：设过双曲线的右焦点F与渐近线y=

b

a

x垂直的直线为AF，根据题意得AF的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率，由此建立关于a、b的不等式，解之可得b²＞a²，从而可得双曲线的离心率e的取值范围．

解答：解：过双曲线的右焦点F作渐近线y=

b

a

x的垂线，设垂足为A，
∵直线AF与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF与渐近线y=-

b

a

x必定有交点B
因此，直线y=-

b

a

x的斜率要小于直线AF的斜率
∵渐近线y=

b

a

x的斜率为

b

a

∴直线AF的斜率k=-

a

b

，可得-

b

a

＜-

a

b

，
即

b

a

＞

a

b

，b²＞a²，可得c²＞2a²，
两边都除以a²，得e²＞2，解得e＞

2

故选：C

点评：本题给出过双曲线焦点与一条渐近线垂直的直线，交双曲线与左右两点各一个交点，求双曲线离心率取值范围．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．