Question

如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=90°，AD//BC，CB⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2BC，F是线段AB的中点。

   （1）求证：DF⊥PF；

   （2）求PC与平面PDF所成的角。

Answer 1

（1）证明：∵CB⊥侧面PAB，PF平面PAB，

∴PF⊥BC。

又∵△PAB是等边三角形，F是线段AB的中点，

∴PF⊥AB，

∴PF⊥平面ABCD，

∵DF平面ABCD，

∴DF⊥PF。

（2）方法一：作CH⊥DF，垂足为H，连接PH，

由（1）知：PF⊥平面ABCD。

∴平面PDF⊥平面CDF，

∴CH⊥平面PDF，

∴PH是PC在平面PDF上的射影，

∴∠CPH是PC与平面PDF所成的角。

∵CB⊥侧面PAB，AD//BC，DA⊥侧面PAB，

∴△DAF，△BFC，△PBC都是直角三角形，

设BC=1，则DA=AB=2，AF=FB=1，

在三角形DFC中，DF=

经计算

∴直角三角形PHC中，

∴PC与平面PDF所成的角为

方法二：

如图，以F为原点，FB、FP分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系。

              

设BC=1，则DA=AB=2，AF=FB=1，PF=

从而C（1，1，0）、D（2，－1，0）、P（0，0）

平面PDF的法向量

设PC与平面PDF所成的角为

∴PC与平面PDF所成的角为