Question

（2012•朝阳区一模）已知函数f(x)=cos(x-

π

4

)．
（Ⅰ）若f(α)=

7 2

10

，求sin2α的值；
（II）设g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)，求函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x）表达式，结合两角差的余弦公式化简整理，得cosα+sinα=

7

5

．再将两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角的正弦公式，可得sin2α的值；
（II）将f（x）表达式代入，利用两角和与差的余弦公式展开，并用二倍角的余弦公式化简整理，得g（x）=

1

2

cos2x．最后结合余弦函数的图象与性质，可得到函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(α)=cos(α-

π

4

)=

7 2

10

，
∴

2

2

(cosα+sinα)=

7 2

10

，得 cosα+sinα=

7

5

．
两边平方得，sin²α+2sinαcosα+cos²α=

49

25

，
即1+sin2α=

49

25

，可得sin2α=

24

25

．…（6分）
（II）g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)=cos(x-

π

4

)•cos(x+

π

4

)
=

2

2

(cosx+sinx)•

2

2

(cosx-sinx)
=

1

2

(cos2x-sin2x)=

1

2

cos2x．…（10分）
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]．
所以，当x=0时，g（x）的最大值为

1

2

；当x=

π

3

时，g（x）的最小值为-

1

4

．
即函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值为g（0）=

1

2

，最小值为g（

π

3

）=-

1

4

．…（13分）

点评：本题给出三角函数表达式，要求我们将另一个函数化简后求它的最大最小值，着重考查了同角三角函数基本关系、两角和与差的余弦公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．