Question

如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD，AD丄平面ABD．M为线段BD的中点，MC∥AE，AE=MC=

2

（I）求证：平面BCE丄平面CDE；
（II）若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC．

Answer 1

（I）∵AB=AD=2，AB丄AD，M为线段BD的中点，
∴AM=

1

2

BD

2

，AM⊥BD．
∵AE=MC=

2

，∴AE=MC=

1

2

BD=

2

，∴BC⊥CD，
∵AE丄平面ABD，MC∥AE，
∴MC⊥平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD，∴AM⊥平面CDB．
又MC∥AE，AE=MC=

2

，∴四边形AMCE是平行四边形，
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CDB．∴BC⊥EC，∵EC∩CD=C
又∵BC⊥平面CDE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（II）∵BD中点M，ED的中点N，∴MN∥BE，
又∵MN?平面BCE，BE?平面BCE，
∴MN∥平面BEC
由（I）知EC∥AM，又∵AM?平面BCE，EC?平面BCE，
∴AM∥平面BEC，且AM∩MN=M．
∴平面AMN∥平面BEC．