Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0）为奇函数，A={x|f（x）=0}，A∈[-1，1]中有2009个元素，则正数w取值范围为（ ）
A．[1004π，1005π）
B．[1004π，1005π]
C．[，]
D．[，]

Answer 1

【答案】分析：先利用两角差的正弦公式将函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，利用函数的奇偶性求得φ，再解方程f（x）=0得根x关于ω的等式，最后利用x在[-1，1]中有2009个值，即整数n有2009个，列不等式解得正数w取值范围
解答：解：f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2[sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）]
=2[cossin（ωx+φ）-sincos（ωx+φ）]
=2sin（ωx+φ-）
∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=2sin（φ-）=0
∴φ=+kπ，k∈Z
∴f（x）=2sin（ωx+kπ）
f（x）=0即sin（ωx+kπ）=0
ωx+kπ=mπ，m∈Z，解得，x=，设n=m-k，则n∈Z
∵A∈[-1，1]
∴-1≤x≤1
∴
∴-≤n
∵A∈[-1，1]中有2009个元素
∴
∴1004π≤ω≤1005π
故选A
点评：本题考查了三角变换公式的应用，y=Asin（ωx+φ）型三角函数的图象和性质，恰当的利用A∈[-1，1]中有2009个元素这个条件是解决本题的关键