Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2a（a＞0），E，F分别CD、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；，
（Ⅱ）当a=

2

2

时，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量垂直证出

EF

⊥

AB

，

EF

⊥

PB

，转化成线线垂直，可证EF⊥平面PAB
（Ⅱ）先求出

AC

与平面AEF的法向量所成角的余弦值．再求AC与平面AEF所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz（如图），
AD=1，PD=1，AB=2a（a＞0），
则E（a，0，0），C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F(a，

1

2

，

1

2

)．得

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PB

=(2a，1，-1)，

AB

=(2a，0，0)
由

EF

•

AB

=(0，

1

2

，

1

2

)•(2a，0，0)=0，得

EF

⊥

AB

，即EF⊥AB
同理EF⊥PB，又AB∩PB=B
所以，EF⊥平面PAB
（Ⅱ）解：由a=

2

2

，得E(

2

2

，0，0)，F(

2

2

，

1

2

，

1

2

)，C(

2

，0，0)．
有

AC

=(

2

，-1，0)，

AE

=(

2

2

，-1，0)，

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)
设平面AEF的法向量为n=（x，y，1），由

n• EF =0 n• AE =0

⇒

(x，y，1)•(0 1 2 1 2 )=0 (x，y，1)•( 2 2 ，-1，0)=0

⇒

1 2 y+ 1 2 =0 2 2 x-y=0

，解得

y=-1 x=- 2

．于是n=(-

2

，-1，1)
设AC与面AEF所成的角为θ，

AC

与n的夹角为＜

AC

，n＞．
则sinθ=|cos＜

AC

，n＞|=

| AC •n|

| AC |•|n|

=

|( 2 ，-1，0)•(- 2 ，-1，1)|

2+1+0 2+1+1

=

3

6

．
所以，AC与平面AEF所成角的大小的正弦值为

3

6

点评：本题考查线面位置关系的判定，线面角的求解．利用向量法减少思维量，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题．