Question

数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²(n∈N^*),______________.(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

Answer 1

构建问题(一):数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²(n∈N^*)

,数列{a_n}是什么数列？

解析：由a_n=S_n-S_n-1=(100n-n²)+［100(n-1)-(n-1)²］=101-2n(n≥2),

∵a₁=S₁=100×1-1²=99=101-2×1,

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=101-2n(n∈N^*).

又∵a_n+1-a_n=-2为常数,

∴数列{a_n}是首项a₁=99,公差d=-2的等差数列.

构建问题(二):数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²(n∈N^*),求数列{|a_n|}的前n项和.

解析：设b_n=|a_n|.令a_n=101-2n≥0,得n≤50.5.

∵n∈N^*,∴ n≤50(n∈N^*).

当1≤n≤50时,a_n＞0,此时b_n=|a_n|=a_n,

∴ {b_n}的前n项和S_n′=100n-n²且S₅₀′=100×50-50²=2 500；

当n≥51时,a_n＜0,此时b_n=|a_n|=-a_n,

由b₅₁+b₅₂+…+b_n=-(a₅₁+a₅₂+…+a_n)=-(S_n-S₅₀)=S₅₀-S_n,

得数列{b_n}的前n项和为S_n′=S₅₀+S₅₀-S_n=2S₅₀-S_n=2×2 500-(100n-n²)=5 000-100n+n².

∴S_n=