Question

已知函数f（x）=x²-ax+b （a，b∈R）的图象经过坐标原点，且f′（1）=1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+1+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）根据函数经过原点求出b=0，然后根据f′_（x）=1，求出a的值，再根据a_n=S_n-S_n-1求出a_n的通项公式，
（II）由a_n+1+log₃ⁿ=

log

bn 3

得b_n=n-3²ⁿ，即可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-3²+2-3⁴+3-3⁶+…+n-3²ⁿ，再写出9T_n=3⁴+2-3⁶+3-3⁸+…+n-3²ⁿ⁺²，两式相减整理可得数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（I）∵y=f（x）的图象过原点，∴f（x）=x²-ax
由f′_（x）=2x-a得f′_（x）=2-a=1，∴a=1，∴f_（x）=x²-x（3分）
∴S_n=n²-n，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，（n≥2）（4分）
∵a₁=S₁=0，所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N⁺）．（6分）
（II）由a_n+1+log₃ⁿ=

log

bn 3

得b_n=n-3²ⁿ，（8分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-3²+2-3⁴+3-3⁶+…+n-3²ⁿ （1）（9分）
∴9T_n=3⁴+2-3⁶+3-3⁸+…+n-3²ⁿ⁺² （2），（10分）
（2）-（1）得8T_n=n-3²ⁿ⁺²-9-（3⁴+3⁶+…+3²ⁿ ）=n-3²ⁿ⁺²-

32n+2-34

8

，（11分）
∴T_n=

n-32n+2

8

-

32n+2-81

64

=

(8n-1)32n+9

64

．（12分）

点评：本题主要考查数列的求和和等差数列的通项公式的知识点，解答本题的关键是求出a和b的值，熟练掌握等差、等比数列的求和公式．