Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=

1

3

x．若存在x₁，x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂）成立，则x₂-x₁的最小值是

3

．

Answer 1

分析：设F（x）=f（x）-g（x），由f（x₁）=g（x₂）把求x₂-x₁的最小值转化为函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，利用导数研究函数的单调性可求出最小值．

解答：解：设F（x）=f（x）-g（x）=e^x+sinx-

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3

x．
由f（x₁）=g（x₂）得x₂=3（e^x+sinx₁），
∴x₂-x₁=3（e^x+sinx₁-

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3

x₁），所以求x₂-x₁的最小值即求函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，
∵F′（x）=e^x+cosx-

1

3

．
当x≥0时，令φ（x）=e^x+cosx-

1

3

，φ′（x）=e^x-sinx≥1-1=0；
所以函数F′（x）在[0，+∞）上递增，
从而F′（x）≥F′（0）=1+1-

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3

=2-

1

3

＞0，
所以F（x）在[0，+∞）上递增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．
∴x₂-x₁得最小值为3．
故答案为：3

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．