Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4，-

10

)．
（1）求双曲线方程；
（2）设A点坐标为（0，2），求双曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|．

Answer 1

（1）由题意，设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）------------------（2分）
将点(4，-

10

)代入双曲线方程，得42-(-

10

)2=λ，即λ=6----------------------（5分）
所以，所求的双曲线方程为x²-y²=6----------------------（7分）
（2）设双曲线上任意一点P（x₁，y₁），则x12-y22=6
从而|PA|=

x 21 +(y1-2)2

=

6+ y 21 + y 21 -4y1+4

=

2 y 21 -4y1+10

=

2(y1-1)2+8

--------------（10分）
当y₁=1时，|PA|有最小值2

2

所以当P的坐标为(±

7

，1)时，|PA|有最小值2

2

．----------------------（14分）