Question

已知函数f(x)=(m+

1

m

)lnx+

1

x

-x，
（Ⅰ）当m=2时，求f（x）的极大值；
（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m=2时，求出f′（x），f（x）的单调区间，根据极值定义可求得极值；
（Ⅱ）求出f′（x），然后解含参数的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，注意讨论m的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=2时，f（x）=

5

2

lnx+

1

x

-x，
f′(x)=

5

2x

-

1

x2

-1=

-(2x-1)(x-2)

2x2

．
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当

1

2

＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=2时f（x）取得极大值f（2）=

5

2

ln2-

3

2

．
（Ⅱ）f′（x）=

m2+1

mx

-

1

x2

-1=

-(mx-1)(x-m)

mx2

=

-(x- 1 m )(x-m)

x2

．
①若0＜m＜1，则0＜m＜1＜

1

m

．当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当m＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
②若m=1，f′（x）=

-(x-1)2

x2

＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；
③若m＞1，则0＜

1

m

＜1＜m，当0＜x＜

1

m

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当

1

m

＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
综上，当0＜m＜1时，f（x）在（0，m）上是减函数，在（m，1）上是增函数；
当m=1时，f（x）在（0，1）上是减函数；
当m＞1时，f（x）在（0，

1

m

）上是减函数，在（

1

m

，1）上是增函数．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性、极值以及含参数的不等式的求解，本题渗透了分类讨论思想．