练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．
    （1）求f （x）的单调区间；
    （2）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

    解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞）．
    ∵，
    由f '（x）＞0，得x＞0；
    由f '（x）＜0，得﹣1＜x＜0．
    ∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（﹣1，0）．
    （2）∵由，得
    x=0，x=﹣2（舍去）
    由（1）知f（x）在上递减，在[0，e﹣1]上递增．
    又，f（e﹣1）=e2﹣2，且．
    ∴当时，f（x）的最大值为e2﹣2．
    故当m＞e2﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．
    （3）方程f（x）=x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．
    记g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），
    ∵，
    由g'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．
    由g'（x）＜0，得﹣1＜x＜1．
    ∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
    为使方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，
    于是有
    ∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，
    ∴实数a的取值范围是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为
    4
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•安徽）设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
    （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；
    （Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．
    （1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
    （2）设函数f（x）=log2（1-2x），求f（x）的反函数f-1（x），并判断f（x）是否是M的元素；
    （3）f（x）=
    axx+b
    ∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，
    例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
    （1）设函数f（x）=log2（1-2x），判断f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函数f-1（x）；
    （2）f(x)=
    axx+b
    ∈M    （a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）设函数f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．
    （2）设正数P1，P2，P3，…P2n满足P1+P2+…P2n=1，求证：P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案