Question

设F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，O为坐标原点，且|

PF1

|=

3

|

PF2

|，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：取PF₂的中点A，由(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，可得

OA

⊥

F2P

，由OA是△PF₁F₂的中位线，得到PF₁⊥PF₂，由双曲线的定义求出|PF₁|和|PF₂|的值，进而在△PF₁F₂中，由勾股定理可得结论．

解答：解：取PF₂的中点A，则
∵(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，
∴2

OA

•

F2P

=0，
∴

OA

⊥

F2P

，
∵OA是△PF₁F₂的中位线，
∴PF₁⊥PF₂，OA=

1

2

PF₁．
由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=

3

|PF₂|，
∴|PF₂|=

2a

3 -1

，|PF₁|=

2 3 a

3 -1

．
△PF₁F₂中，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴（

2a

3 -1

）²+（

2 3 a

3 -1

）²=4c²，
∴e=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断△PF₁F₂是直角三角形，是解题的关键．