Question

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）求证：CC₁⊥BD；

（2）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD,并给出证明.

Answer 1

（1）证明：设=a,=b,=c,∴=c-b,∵∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°,且底面ABCD为菱形，∴|b|=|c|,∴·=a·（c-b）=a·c-a·b=|a||c|cos60°-|a||b|cos 60°=0,

∵⊥，∴CC₁⊥BD.

（2）证明：∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.

又∵BD⊥CC₁.∴⊥平面A₁C₁CA.     

∴A₁C平面A₁C₁CA.∴BD⊥A₁C.

∴要使A₁C⊥平面C₁BD，只要使A₁C⊥BC₁，即·=0.

∵=a+b+c,=a-b,·=(a+b+c)·(a-b)

=|a|²+a·b+a·c-a·b-|b|²-b·c

=|a|²+|a||c|

cos 60°-|b|²-|b||c|cos 60°

=|a|²+|a||c|-|c|²=0,

∴2|a|²+|a||c|-3|c|²=0.

∴(|a|+3|c|)(|a|-|c|)=0.

∴|a|=|c|,

即当=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD.