Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象如图所示，直线x=

3π

8

，x=

7π

8

是其两条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a）=

6

5

，且

π

8

＜α＜

3π

8

，求f（

π

8

+α）的值．

Answer 1

（本题满分14分）
（1）由题意，

T

2

=

7π

8

-

3π

8

=

π

2

，∴T=π．
又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．（2分）
由f（

3π

8

）=2sin（

3π

4

+φ）=2，解得φ=2kπ-

π

4

（k∈Z）．
又-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=-

π

4

，∴f（x）=2sin（2x-

π

4

）．（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），知kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）．（7分）
（2）解法1：依题意得2sin（2α-

π

4

）=

6

5

，即sin（2α-

π

4

）=

3

5

，（8分）
∵

π

8

＜α＜

3π

8

，∴0＜2α-

π

4

＜

π

2

．
∴cos（2α-

π

4

）=

4

5

，（10分）
f（

π

8

+α）=2sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]．
∵sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]=sin（2α-

π

4

）cos

π

4

+cos（2α-

π

4

）sin

π

4

=

2

2

（

3

5

+

4

5

）=

7 2

10

，
∴f（

π

8

+α）=

7 2

5

．（14分）
解法2：依题意得sin（2α-

π

4

）=

3

5

，得sin2α-cos2α=

3 2

5

，①（9分）
∵

π

8

＜α＜

3π

8

，∴0＜2α-

π

4

＜

π

2

，
∴cos（α-

π

4

）=

4

5

，（11分）
由cos（2α-

π

4

）=

4

5

得sin2α+cos2α=

4 2

5

．②
①+②得2sin2α=

7 2

5

，
∴f（

π

8

+α）=

7 2

5

．（14分）