Question

20．如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：

   （Ⅰ）异面直线AB与EB₁的距离；

   （Ⅱ）二面角A—EB₁—A₁的平面角的正切值.

Answer 1

20．

    解法一：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  （Ⅰ）因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE.

又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁内的射影为EB.

由三垂线定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是异面直线

AB与EB₁的公垂线，

在平行四边形BCC₁B₁中，设EB=x，则EB₁=，

作BD⊥CC₁，交CC₁于D，则

BD=BC·

在△BEB₁中，由面积关系得            

.

（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C₁重合，由题意舍去.

因此x=1，即异面直线AB与EB₁的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG//B₁A₁，则GE⊥面BCC₁B，故GE⊥EB₁且GE在圆A₁B₁E内，又已知

AE⊥EB₁

故∠AEG是二面角A—EB₁—A₁的平面角.

因EG//B₁A₁//BA，∠AEG=∠BAE，故

解法二：

（Ⅰ）BB₁C₁C得AB⊥EB₁从而=0.      设O是BB₁的中点，连接EO及OC₁，则在Rt△BEB₁中，EO=BB₁=OB₁=1，因为在△OB₁C₁中，B₁C₁=1，∠OB₁C₁=，故△OB₁C₁是正三角形，

    所以OC₁=OB₁=1，

    又因∠OC₁E=∠B₁C₁C－∠B₁C₁O=故△OC₁E是正三角形，

    所以C₁E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从而BE=1，

    即异面直线AB与EB₁的距离是1.

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB₁—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，

BE=1，得tanAEB=.

又由已知得平面A₁B₁E⊥平面BB₁C₁C，

故二面角A—EB₁—A₁的平面角，故

解法三：

   （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

    由于BC=1，BB₁=2，AB=，∠BCC₁=，

    在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中有

    B（0，0，0），A（0，0，），B₁（0，2，0），

   

    设

   

 

又AB⊥面BCC₁B₁，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB₁的公垂线，

则，故异面直线AB、EB₁的距离为1.

（II）由已知有故二面角A—EB₁—A₁的平面角的大小为向量

的夹角.