练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在数列{an}中,已知an+1an=2an-an+1,且a1=2(n∈N*),

    (1)求证:数列{-1}是等比数列;

    (2)设bn=an2-an,且Sn为{bn}的前n项和,试证:2≤Sn＜3.

    证明:(1)由an+1an=2an-an+1且a1=2≠0,得an＞1≠0(n∈N*).

    再由等式两边同除以an+1an,得-1=(-1).

    由a1=2得-1=.所以数列{-1}是首项为,公比为的等比数列.

    (2)方法一:由(1)知-1=()n-1=-()n,即an=.

    故an2-an=an(an-1)==bn.

    而Sn+1-Sn=bn+1=＞0,故Sn是关于n的递增数列.

    故Sn≥S1=b1=a12-a1=22-2=2.8分当k≥2时,bk=ak(ak-1)=＜

    ==.

    故Sn＜+=3＜3.

    综上,有2≤Sn＜3.

    方法二:∵bn=an2-an=an(an-1)(而an+1=,故1＜an≤2)≤2(an-1)=2(-1)=.

    ∴Sn=b1+b2+b3+b4+…+bn≤2++++c+…+

    ＜2++++=2++++＜2++++

    =2++++=2+＜3.

    综上,有2≤Sn＜3.


    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，已知a1=
    1
    4
    ，
    an+1
    an
    =
    1
    4
    ，bn+2=3log 
    1
    4
    an（n∈N*）．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
    （Ⅲ）设cn=
    3
    bn•bn+1
    ，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
    m
    20
    对所有n∈N*都成立的最小正整数m．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
    an1+2an
    (n∈N+)    ．
    （1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
    （2）用适当的方法证明你的猜想．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
    2
    an+1+an-1
    ，n∈N+．
    （1）记bn=（an-
    1
    2
    ）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
    （2）求{an}的通项公式；
    （3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，已知a1=
    7
    2
    ，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
    （Ⅰ）计算a2，a3；
    （Ⅱ）求证：{
    an-
    1
    2
    3n
    }是等差数列；
    （Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案