Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF，
(Ⅰ)求证：AD∥平面BCE；
(Ⅱ)求CD与平面ABC所成角的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：由题意知AF∥BE，DF∥CE，
∴平面ADF∥平面BCE，
又AD平面ADF， 
∴AD∥平面BCE。
(Ⅱ)解：在图甲中，∵AB⊥AD，EF∥AB，
∴EF⊥BC，
∴在图乙中，EF⊥BE，EF⊥CE，
∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF= EF，
∴CE⊥面ABEF，CE⊥BE，
以E为原点，以直线EF，EB，EC分别为x，y，z轴建立空间直角坐 标系E-xyz，
由已知AB=AD=CE=2，F为中点，得A(2，1，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，D(2，0，1)，
∴，
设平面ABC的一个法向量n=（x，y，z），
则，即，∴，
令z=1，得n=（0，2，1），
∴，
∴CD与平面ABC所成角的正弦值为。