Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a_i+b_j=a_k+b_l，则

1

2010

2010

i=1

(ai+bi)的值是

2012

．

Answer 1

分析：由于当i+j=k+l时，都有a_i+b_j=a_k+b_l．可得a₁+b₂=a₂+b₁，解得b₂=3；可得a₁+b_n+1=a₂+b_n，a_n+1+b₁=a_n+b₂，
可得b_n+1-b_n=a₂-a₁=1，a_n+1-a_n=b₂-b₁=1．数列{b_n}是等差数列；数列{a_n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：由于当i+j=k+l时，都有a_i+b_j=a_k+b_l．
∴a₁+b₂=a₂+b₁，∴1+b₂=2+2，解得b₂=3；
可得a₁+b_n+1=a₂+b_n，a_n+1+b₁=a_n+b₂，
∴b_n+1-b_n=a₂-a₁=1；a_n+1-a_n=b₂-b₁=1．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为2，公差为1；
数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
a_n=n，b_n=n+1，
∴数列{a_n}的前n项和为

n(n+1)

2

；数列{b_n}的前n项和为

n(2+n+1)

2

．
∴

1

2010

2010

i=1

(ai+bi)=

1

2010

[

2010×(2010+1)

2

+

2010×(2010+3)

2

]=2012．
故答案为2012．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及前n项和公式，属于难题．