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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知△ABC中，A＜B＜C，a=cosB，b=cosA，c=sinC
    （1）求△ABC的外接圆半径和角C的值；
    （2）求a+b+c的取值范围．
    分析：（1）由正弦定理求得外接圆半径R．再由a=cosB，b=cosA，可得
    cosB
    sinA
    =
    cosA
    sinB
    ，化简得sin2A=sin2B．
    再由A＜B＜C，可得2A+2B=π，由此可得C的值．
    （2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=
    		2
    sin（A+
    π
    4
    ）+1．再由O＜A＜
    π
    4
    ，利用正弦函数的定义域和值域
    求得sin（A+
    π
    4
    ）+1＜
    		2
    +1的范围，即可求得a+b+c的取值范围．
    解答：解：（1）由正弦定理
    c
    sinC
    =2R=1，∴R=
    1
    2
    ．
    再由a=cosB，b=cosA，可得
    cosB
    sinA
    =
    cosA
    sinB
    ，故有sinAcosA=sinBcosB，
    即sin2A=sin2B．
    再由A＜B＜C，可得2A+2B=π，∴C=
    π
    2
    ．
    （2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=sinA+cosA+1=
    		2
    sin（A+
    π
    4
    ）+1．
    再由O＜A＜
    π
    4
    ，可得
    π
    4
    ＜A+
    π
    4
    ＜
    π
    2
    ，∴
    		2
    2
    ＜sin（A+
    π
    4
    ）＜1，
    ∴2＜
    		2
    sin（A+
    π
    4
    ）+1＜
    		2
    +1，
    即a+b+c的取值范围为（2，
    		2
    +1）．
    点评：本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△ABC中，A=60°，a=
    		15
    ，c=4，那么sinC=
    2
    		5
    5
    2
    		5
    5
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
    （1）求AB边上的高所在的直线方程；
    （2）直线l∥AB，与AC，BC依次交于E，F，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直线方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，则边长c=
    		3
    		3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△ABC中，a=2
    		3
    ，若
    m
    =(-cos
    A
    2
    ，sin
    A
    2
    )    ，
    n
    =(cos
    A
    2
    ，sin
    A
    2
    )    满足
    m
    •
    n
    =
    1
    2
    ．（1）若△ABC的面积S=
    		3
    ，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
    (AB)2
    =
    AB
    •
    AC
    +
    BA
    •
    BC
    +
    CA
    •
    CB
    ．
    （Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
    （Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

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